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我既不知道她的皮肤有多柔软，也不知道她的骨骼有多坚硬。

# 向量空间和线性变换

直和（定义）：

对于线性空间U1,...,UrU_1,...,U_r，它们的直和空间：

U1⊕...⊕UrU_1\oplus...\oplus U_r

定义为其中的元素都可以写成u1+...+ur,ui∈Uiu_1+...+u_r,u_i\in U_i。

[ϑ]B[\vartheta]_{\mathscr{B}}（记号）：

n×nn\times n 的矩阵(aij)(a_{ij}) 叫做自同态ϑ\vartheta 在基B\mathscr{B} 下的矩阵，满足：

B=v1,v2,...,vnϑ(vi)=ai1v1+...+ainvn,i=1,...,n\mathscr{B}=v_1,v_2,...,v_n\\ \vartheta(v_i)=a_{i1}v_1+...+a_{in}v_n,i=1,...,n

定理：

[ϑ+ϕ]B=[ϑ]B+[ϕ]B[ϑ∘ϕ]B=[ϕ]B[ϑ]B[λϑ]B=λ[ϑ]B[\vartheta+\phi]_{\mathscr{B}}=[\vartheta]_{\mathscr{B}}+[\phi]_{\mathscr{B}}\\ [\vartheta\circ\phi]_{\mathscr{B}}=[\phi]_{\mathscr{B}}[\vartheta]_{\mathscr{B}}\\ [\lambda\vartheta]_{\mathscr{B}}=\lambda[\vartheta]_{\mathscr{B}}

过渡矩阵（定义）：

B=v1,...,vnB′=v1′,...vn′vi′=ti1v1+...+tinvn,i=1,...,n\mathscr{B}=v_1,...,v_n\\ \mathscr{B}'=v_1',...v_n'\\ v_i'=t_{i1}v_1+...+t_{in}v_n,i=1,...,n

那么矩阵T=(tij)T=(t_{ij}) 称为从基B\mathscr{B} 到B′\mathscr{B}' 的过渡矩阵。

定理：

矩阵T=(tij)T=(t_{ij}) 称为从基B\mathscr{B} 到B′\mathscr{B}' 的过渡矩阵，那么

[ϑ]B=T−1[ϑ]B′T[\vartheta]_{\mathscr{B}}=T^{-1}[\vartheta]_{\mathscr{B}'}T

投射（定义）：

π\pi 是向量空间VV 的一个自同态，若π2=π\pi^2=\pi，那么把π\pi 叫做VV 的一个投射。

例：π:U⊗W→U⊕W,π(u+w)=u+0=u\pi:U\otimes W\rightarrow U\oplus W,\pi(u+w)=u+0=u. 有Kerπ=W,Imπ=UKer\pi=W,Im\pi=U.

定理：

假设π\pi 是向量空间VV 的一个投射，那么

V=Imπ⊗KerπV=Im\pi\otimes Ker\pi

# 群表示

GL(n,F)GL(n,F)（记号）：

为数域FF 上所有n×nn\times n 可逆矩阵形成的群

群表示（定义）：

群GG 在数域FF 上的表示是指一个同态ρ:G→GL(n,F)\rho:G\rightarrow GL(n,F)，其中nn 为这个表示的次数。

等价表示（定义）：

对于表示ρ,σ\rho,\sigma 若存在可逆矩阵使得

∀g∈G,σ(g)=T−1ρ(g)T\forall g\in G,\sigma(g)=T^{-1}\rho(g)T

那么称表示ρ,σ\rho,\sigma 是等价的。这是一个等价关系。

忠实表示（定义）：

表示ρ:G→GL(n,F)\rho:G\rightarrow GL(n,F) 称为是群GG 的一个忠实表示如果Kerρ={1}Ker\rho=\{1\}，即群中单位元是唯一一个满足ρ(g)=In\rho(g)=I_n 的元素。注意，对于线性变换，KerϑKer\vartheta 是那些映射到 0 的元素，但在群同态中认为是映射到群单位元的元素。

定理：

有限群GG 的一个表示ρ\rho 是GG 的忠实表示当且仅当

Imρ≅GIm\rho\cong G

注：因为G/Kerρ≅ImρG/Ker\rho\cong Im\rho。

# FG 模

:::

FG 模（定义）：

令VV 为FF 上的一个向量空间，GG 为一个群，那么VV 是一个 FG - 模如果对任意u,v∈V,λ∈Fu,v\in V,\lambda\in F 和g,h∈Gg,h\in G 满足：

  1. vg∈Vvg\in V.
  2. v(gh)=(vg)hv(gh)=(vg)h.
  3. v1=vv1=v.
  4. (λv)g=λ(vg)(\lambda v)g=\lambda (vg).
  5. (u+v)g=ug+vg(u+v)g=ug+vg.

换句话说，群GG 中的元素gg 成了VV 上的一个自同态。也有类似的记号[g]B[g]_\mathscr{B} 表示自同态gg 在某个基B\mathscr{B} 下的表示。

:::

定理：

若ρ:G→GL(n,F)\rho:G\rightarrow GL(n,F) 是GG 在FF 上的一个表示，且V=FnV=F^n，那么VV 是一个 FG - 模。其中，我们定义：

vg=ρ(g)vvg=\rho(g)v

且存在一组基B\mathscr{B} 使得

∀g∈G,ρ(g)=[g]B\forall g\in G,\rho(g)=[g]_{\mathscr{B}}

反之也成立，假设VV 是一个 FG - 模，B\mathscr{B} 是VV 的一组基，那么

ρ(g)=[g]B\rho(g)=[g]_{\mathscr{B}}

是GG 在FF 上的一个dimVdimV 次表示。

平凡 FG 模（定义）：

∀v∈V,g∈G,vg=v\forall v\in V,g\in G,vg=v

满足上式的FF 上的一维向量空间VV。

忠实 FG 模（定义）：
如果GG 中的单位元是使得下式唯一成立的元素：

∀v∈V,vg=v\forall v\in V,vg=v

那么称 FG 模VV 是忠实的。

定理：

设VV 是基为B\mathscr{B} 的一个 FG - 模，ρ\rho 是GG 在FF 上的一个表示，定义：

ρ(g)=[g]B\rho(g)=[g]_{\mathscr{B}}

那么它与ϕ(g)=[g]B′\phi(g)=[g]_{\mathscr{B}'} 等价，其中B′\mathscr{B}' 是另一组基。

且如果存在一个表示σ\sigma 等价于ρ\rho，那么存在VV 的一组基B′′\mathscr{B}'' 使得σ(g)=[g]B′′\sigma(g)=[g]_{\mathscr{B}''}。

# 可约性

可约性（定义）：
如果 FG - 模VV 有一个子空间WW 也是 FG - 模，且W≠{0},W≠VW\neq \{0\},W\neq V, 那么称VV 是可约的。反之则为不可约的。

定理：
若VV 是一个可约 FG - 模，那么存在一个子模WW, 0<dimW<dimV0<dimW<dimV。取WW 的一组基B′\mathscr{B}' 并把它扩充到VV 的一组基B\mathscr{B}，那么对于任意g∈G,[g]Bg\in G,[g]_\mathscr{B} 具有形式：

(Xg0YgZg)\begin{pmatrix} X_g&0\\ Y_g&Z_g \end{pmatrix}

其中XgX_g 是dimW×dimWdimW\times dimW 阶的矩阵。而我们称一个表示ρ\rho 是可约的，当且仅当它等价于一个有上述形式的表示。

我们看一下这个矩阵的含义。实际上XgX_g 那部分就是g:V→Vg:V\rightarrow V 对基B\mathscr{B} 中的B′\mathscr{B}' 部分的映射。因为WW 是子模所以应该对gg 是封闭在WW 上的。

注意到[g]B[g]_\mathscr{B} 是基变换，所以是可逆的。根据含零分块矩阵逆矩阵性质：

(A0BC)−1=(A−10−C−1BA−1C−1)\begin{pmatrix} A & 0\\ B & C \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} A^{-1}&0\\ -C^{-1}BA^{-1}&C^{-1} \end{pmatrix}

所以Xg,ZgX_g,Z_g 都是可逆的。而且ρ(g)=Xg,ϕ(g)=Zg\rho(g)=X_g,\phi(g)=Z_g 构成了群的两个表示。看一个例子，譬如群{1,a,a2}\{1,a,a^2\}，其中a3=1a^3=1，然后VV 是一个三维的 FG - 模，定义为：

v1a=v2,v2a=v3,v3a=v4v_1a=v_2,v_2a=v_3,v_3a=v_4

取一组基为B={v1+v2+v3,v2,v3}\mathscr{B}=\{v_1+v_2+v_3,v_2,v_3\}，那么有：

[1]B=(100010001),[a]B=(1000011−1−1),[a2]B=(1001−1−1010)[1]_\mathscr{B}= \left( \begin{array}{c|cc} 1&0&0\\ \hline 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array} \right) ,[a]_\mathscr{B}= \left( \begin{array}{c|cc} 1&0&0\\ \hline 0&0&1\\ 1&-1&-1 \end{array} \right), [a^2]_\mathscr{B}= \left( \begin{array}{c|cc} 1&0&0\\ \hline 1&-1&-1\\ 0&1&0 \end{array} \right)

那么ρ(g)=1\rho(g)=1 左上角就构成一个一维平凡表示，右下角也构成了一个表示。

# 群代数

群代数（定义）：
对于F=CF=\mathbb{C} 或F=RF=\mathbb{R}，定义群GG 上的一个向量空间FGFG，空间中的元素都形如u=∑g∈Gλig,λi∈Fu=\sum_{g\in G}\lambda_ig,\lambda_i\in F，那么我们可以自然定义空间上的加法、数乘、乘法：

u=∑g∈Gλgg,v=∑g∈Gμgg(u+v)=∑g∈G(λg+μg)g(λu)=∑g∈G(λλg)g(uv)=∑g1∈G∑g2∈Gλg1μg2(g1g2)u=\sum_{g\in G}\lambda_gg,v=\sum_{g\in G}\mu_gg\\ (u+v)=\sum_{g\in G}(\lambda_g+\mu_g)g\\ (\lambda u)=\sum_{g\in G}(\lambda\lambda_g)g\\ (uv)=\sum_{g_1\in G}\sum_{g_2\in G}\lambda_{g_1}\mu_{g_2}(g_1g_2)

那么这个空间连带它的运算被称为群GG 上的群代数。群代数中有一个乘法单位元为1e1e，其中11 是FF 的乘法单位元，ee 是群GG 的单位元。

正则 FG - 模（定义）：
设群GG 是有限群，那么它的群代数向量空间也是一个 FG - 模，自然定义为 (把 FG 看作 V)：

ug′=∑g∈Gλg(gg′),u∈FG,g′∈Gug'=\sum_{g\in G}\lambda_g(gg'),\\ u\in FG,g'\in G

然后这个 FG - 模被称为正则 FG - 模。

定理：正则 FG - 模是忠实的。
因为要∀v∈FG,vg=v\forall v\in FG,vg=v，所以取v=ev=e。那么eg′=eeg'=e 故g′=eg'=e。

# FG 同态

FG 同态（定义）：
设V,WV,W 是两个群GG 的 FG 模，而ϑ:V→W\vartheta:V\rightarrow W 是一个线性变换且满足：

ϑ(vg)=(ϑ(v))g\vartheta(vg)=(\vartheta(v))g

那么称ϑ\vartheta 称为 FG - 同态

定理：设V,WV,W 是 FG - 模，ϑ:V→W\vartheta:V\rightarrow W 是 FG - 同态。那么KerϑKer\vartheta 是VV 的一个子模，ImϑIm\vartheta 是WW 的一个子模。

证明：根据ϑ\vartheta 是线性变换，故Kerϑ,ImϑKer\vartheta,Im\vartheta 都是线性空间。对于v∈Kerϑv\in Ker\vartheta 有：

ϑ(vg)=ϑ(v)g=0g=0\vartheta(vg)=\vartheta(v)g=0g=0

所以v∈Kerϑ⇒vg∈Kerϑv\in Ker\vartheta\Rightarrow vg\in Ker\vartheta，再配合运算，可知KerϑKer\vartheta 就是一个子模。

对于v∈Imϑv\in Im\vartheta，可知存在w,ϑ(w)=vw,\vartheta(w)=v：

vg=ϑ(w)g=ϑ(wg)vg=\vartheta(w)g=\vartheta(wg)

故vg∈Imϑvg\in Im\vartheta。

定理：
假设VV 是一个基为B\mathscr{B} 的 FG 模，WW 是一个基为B′\mathscr{B}' 的 FG 模，那么V≅WV\cong W 当且仅当下面两个表示是等价的：

ρ(g)=[g]Bϕ(g)=[g]B′\rho(g)=[g]_\mathscr{B}\\ \phi(g)=[g]_{\mathscr{B}'}

定理：
令V=U1⊕...⊕UrV=U_1\oplus...\oplus U_r 是一个 FG - 模，那么每个UiU_i 都是VV 的一个子 FG - 模。定义πi:V→V\pi_i:V\rightarrow V:

πi(u1+...+ur)=ui\pi_i(u_1+...+u_r)=u_i

那么每个πi\pi_i 都是一个 FG 同态，且是一个投射。

# Maschke 定理

Maschke 定理：
令GG 是一个有限群，F=CF=\mathbb{C} 或R\mathbb{R}，VV 是一个 FG 模，如果UU 是VV 的一个子 FG - 模，那么存在子 FG - 模WW 使得:

V=U⊕WV=U\oplus W

证明：
我们首先选择VV 的任意一个子空间W0W_0 满足V=U⊕W0V=U\oplus W_0。对于u∈U,w∈W0u\in U,w\in W_0，定义ϕ(u+w)=u\phi(u+w)=u。即Kerϕ=W0,Imϕ=UKer\phi=W_0,Im\phi=U。

我们的目标是对ϕ\phi 进行改造，变成一个V→VV\rightarrow V 的一个 FG - 同态，且同态的像为UU。定义ϑ:V→V\vartheta:V\rightarrow V:

ϑ(v)=1∣G∣∑g∈Gϕ(vg)g−1\vartheta(v)=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\phi(vg)g^{-1}

它是一个VV 的自同态，即ϑ(v1+v2)=ϑ(v1)+ϑ(v2)\vartheta(v_1+v_2)=\vartheta(v_1)+\vartheta(v_2)。我们再证明它是一个 FG - 同态。对于任意一个元素h∈Gh\in G，有：

ϑ(vh)=1∣G∣∑g∈Gϕ((vh)g)g−1=1∣G∣∑g∈Gϕ(v(hg))g−1=1∣G∣∑t=hg∈Gϕ(vt)t−1h=ϑ(v)h\begin{aligned} \vartheta(vh)&=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\phi((vh)g)g^{-1}\\ &=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\phi(v(hg))g^{-1}\\ &=\frac{1}{|G|}\sum_{t=hg\in G}\phi(vt)t^{-1}h\\ &=\vartheta(v)h \end{aligned}

那么根据前述命题，Kerϑ,ImϑKer\vartheta,Im\vartheta 均为VV 的 FG - 子模。其中Imϑ=U,Ker=WIm\vartheta=U,Ker=W。

例：对于群{1,a,a2},a3=1\{1,a,a^2\},a^3=1，它的一个 FG 模是span{v1,v2,v3}span\{v_1,v_2,v_3\} 定义为:

v1a=v2,v2a=v3,v3a=v1v_1a=v_2,v_2a=v_3,v_3a=v_1

且有一个子模U=span{v1+v2+v3}U=span\{v_1+v_2+v_3\}，那么对于VV 中元素有：

λ1v1+λ2v2+λ3v3=λ3(v1+v2+v3)+(λ1−λ3)v1+(λ2−λ3)v2∈U⊕W\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3=\lambda_3(v_1+v_2+v_3)+(\lambda_1-\lambda_3)v_1+(\lambda_2-\lambda_3)v_2\\ \in U\oplus W

于是可以取一个子空间W=span{v1,v2}W=span\{v_1,v_2\}，一个投射为ϕ(λ1v1+λ2v2+λ3v3)=λ3(v1+v2+v3)∈U\phi(\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3)=\lambda_3(v_1+v_2+v_3)\in U。当然这个取法显然不唯一。那么修改线性变换为：

ϑ(λ1v1+λ2v2+λ3v3)=13[λ3(v1+v2+v3)+λ2(v1+v2+v3)+λ1(v1+v2+v3)]=13(λ1+λ2+λ3)(v1+v2+v3)\begin{aligned} \vartheta(\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3)&=\frac{1}{3}[\lambda_3(v_1+v_2+v_3)+\lambda_2(v_1+v_2+v_3)+\lambda_1(v_1+v_2+v_3)]\\ &=\frac{1}{3}(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)(v_1+v_2+v_3) \end{aligned}

所以Kerϑ={λ1v1+λ2v2+λ3v3  ∣  λ1+λ2+λ3=0}=span{v1−v2,v2−v3}Ker\vartheta=\{\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3\;|\;\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=0\}=span\{v_1-v_2,v_2-v_3\}。
所以

span{v1,v2,v3}=span{v1−v2,v2−v3}⊕span{v1+v2+v3}V=W⊕Uspan\{v_1,v_2,v_3\}=span\{v_1-v_2,v_2-v_3\}\oplus span\{v_1+v_2+v_3\}\\ V=W\oplus U

如果我们选择这样一组基B=v1−v2,v2−v3,v1+v2+v3\mathscr{B}=v_1-v_2,v_2-v_3,v_1+v_2+v_3，那么有

[g]B=(∗00∗)[g]_\mathscr{B}= \left ( \begin{array}{c|c} *& 0\\ \hline 0&* \end{array} \right )

因为两个都是子模。这也揭示了给定一个子模UU，我们想找另一个子模WW，那么就可以先任取一个子空间WW 使得V=U⊕WV=U\oplus W，那么对于空间U⊕WU\oplus W 的一组基B\mathscr{B} 就会有形式

[g]B=(∗0∗∗)[g]_\mathscr{B}= \left ( \begin{array}{c|c} *& 0\\ \hline *&* \end{array} \right )

然后我们作矩阵变换使得对于所有的gg 让左下角也是 0 即可。（实际上只要对生成元的gg，在循环群情况下）

定理：每一个非零 FG - 模都是若干个不可约 FG - 模的直和。

V=U1⊕...⊕UnV=U_1\oplus ...\oplus U_n

就是反复应用 Maschke 定理的结果。

# Schur 引理

Schur 引理：假设V,WV,W 是两个不可约CG\mathbb{C}G - 模。那么：

  • 若ϑ:V→W\vartheta:V\rightarrow W 是一个CG\mathbb{C}G 同态，那么它要么是一个同构，要么有∀v∈V,ϑ(v)=0\forall v\in V,\vartheta(v)=0。
  • 若ϑ:V→W\vartheta:V\rightarrow W 是一个CG\mathbb{C}G 同构，则ϑ\vartheta 是一个数乘变换。

定理：若VV 是一个非零CG\mathbb{C}G - 模，并且每一个V→VV\rightarrow V 的CG\mathbb{C}G 同态都是一个数乘变换，那么VV 不可约。

推论：令ρ:G→GL(n,C)\rho:G\rightarrow GL(n,\mathbb{C}) 是群GG 的一个表示，那么ρ\rho 不可约当且仅当每一个满足：

∀g∈G,ρ(g)A=Aρ(g)\forall g\in G,\rho(g)A=A\rho(g)

的矩阵AA 都是数乘矩阵，即A=λIA=\lambda I。

例：令G={1,a,a2},a3=1G=\{1,a,a^2\},a^3=1，且ρ:G→GL(2,C)\rho:G\rightarrow GL(2,\mathbb{C}) 是一个表示，为ρ(a)=(01−1−1)\rho(a)=\begin{pmatrix}0&1\\-1&-1\end{pmatrix}。由于群是交换的，那么令A=ρ(a)A=\rho(a)，那么∀g,ρ(g)A=Aρ(g)\forall g,\rho(g)A=A\rho(g)，且A=ρ(a)A=\rho(a) 不是数乘矩阵，故该表示是可约的。

这里 comment 一下我对表示可约的理解。群表示实际上是把群结构同态映射到了一个线性空间上，即一个nn 维矩阵。这个矩阵有什么含义呢？

我们把它看作一个基变换矩阵来看，譬如对于一个nn 维向量空间VV，我们可以找到它的一组nn 维向量形式的基（同构意义下），即：

∀v∈V,v=λ1v1+...+λnvn,vi∈Cn\forall v\in V,v=\lambda_1v_1+...+\lambda_nv_n,v_i\in\mathbb{C}^n

那么就有ρ(g):V→V\rho(g):V\rightarrow V，即自然定义了一个CG\mathbb{C}G - 模：

ρ(g)(v)=ρ(g)⋅∑i=1nλivi=∑i=1nλiρ(g)vi∈V,ρ(g)∈Cn×n,v∈V\rho(g)(v)=\rho(g)\cdot \sum_{i=1}^n\lambda_iv_i=\sum_{i=1}^n\lambda_i\rho(g)v_i\in V,\\ \rho(g)\in\mathbb{C}^{n\times n},v\in V

那么什么时候表示ρ\rho 是可约的呢？那就是存在两个子空间V1,V2V_1,V_2 使得V1⊗V2=VV_1\otimes V_2=V，然后对于每个gg，都可以把ρ(g)\rho(g) 等价变换为如下形式：

ρ(g)=(∗00∗)\rho(g)= \left( \begin{array}{c|c} *&0\\ \hline 0&* \end{array} \right)

其中左上角为dimV1×dimV1dim V_1\times dimV_1 的矩阵，右下角是dimV2×dimV2dim V_2\times dimV_2 的矩阵。此时我们可以把表示实际上拆成两个子空间上分别的基变换矩阵的表示，这和CG\mathbb{C}G - 模可约定的定义是一致的。

定理：对于某个有限交换群，那么它的每一个不可与CG\mathbb{C}G - 模均是一维的。

# 特征标

定义：假设VV 是一个基为B\mathscr{B} 的CG\mathbb{C}G - 模，那么VV 的特征标定义为如下函数：

χ(g)=tr[g]B\chi(g)=tr[g]_{\mathscr{B}}

很显然，对同一个CG\mathbb{C}G - 模，即使选择的基不一样，那也有[g]B=T−1[g]B′T[g]_{\mathscr{B}}=T^{-1}[g]_{\mathscr{B}'}T，故取 trace 后都是相等的。

同样，我们可以自然地定义表示ρ\rho 对应的特征标。因为ρ(g)\rho(g) 是可逆矩阵，那么它也可以看作是一个基变换矩阵（一致于先前对可约性的说明），那么就可以自然地定义χ(g)=tr(ρ(g))\chi(g)=tr(\rho(g))。

那么自然地，我们也可以定义特征标的可约性：

定义：一个特征标是可约的，当且仅当它是一个可约的CG\mathbb{C}G - 模的特征标。

定理：同构的CG\mathbb{C}G - 模有相同的特征标。共轭元有相同的特征标。即

tr[x]B=tr[g−1yg]B=tr([g]B−1[y]B[g]B)=tr[y]Btr[x]_{\mathscr{B}}=tr[g^{-1}yg]_{\mathscr{B}}=tr([g]_{\mathscr{B}}^{-1}[y]_{\mathscr{B}}[g]_{\mathscr{B}})=tr[y]_{\mathscr{B}}

接下来的结论揭示了特征标的重要性，说明了我们要确定一个表示的核只需要 知道它的特征标信息就可以了：

命题：令ρ:G→GL(n,C)\rho:G\rightarrow GL(n,\mathbb{C}) 为GG 的一个表示，χ\chi 是ρ\rho 的一个特征标，那么有：

Kerρ={g∈G  ∣  χ(g)=χ(1)=n}Ker\rho = \{g\in G\;|\;\chi(g)=\chi(1)=n\}

所以我们往往定义特征标的核Kerχ={g∈G  ∣  χ(g)=χ(1)}Ker\chi=\{g\in G\;|\;\chi(g)=\chi(1)\}。自然地，一个正则的特征标也就定义为正则CG\mathbb{C}G - 模上的特征标了。

定理：若χreg\chi_{reg} 是群GG 的正则特征标，那么：

{χreg(1)=∣G∣χreg(g)=0,g≠1\begin{cases} \chi_{reg}(1)=|G|\\ \chi_{reg}(g)=0,g\neq 1 \end{cases}

这个定理很好证明。因为群的正则CG\mathbb{C}G - 模的一组基就是群GG 中的所有元素，故对于某个基向量gi∈Gg_i\in G，那么存在gj∈Gg_j\in G 使得gig=gjg_ig=g_j。故在[g][g] 中，第ii 行有且只有第jj 列为 1，其他都为 0。

故形象地理解下就知道，只有g=1g=1 的话，[g]=I[g]=I，否则[g][g] 的对角线元素均为 0。

定义：设ϑ,ϕ\vartheta,\phi 是G→CG\rightarrow\mathbb{C} 的函数，那么如下定义它们的内积：

⟨ϑ,ϕ⟩=1∣G∣∑g∈Gϑ(g)ϕ(g)∗\langle\vartheta,\phi\rangle=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\vartheta(g)\phi(g)^*

所以自然把特征标的内积定义为⟨χ1,χ2⟩=1∣G∣∑g∈Gχ1(g)χ2(g−1)\langle\chi_1,\chi_2\rangle=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\chi_1(g)\chi_2(g^{-1})。

特征标主定理：令U,VU,V 是非同构、不可约的CG\mathbb{C}G - 模，它们的特征标分别是χ,ψ\chi,\psi，那么：

⟨χ,χ⟩=1,⟨χ,ψ⟩=0\langle\chi,\chi\rangle=1,\langle\chi,\psi\rangle=0