理解，理解，还是要理解。

我们考虑定义一个 Yoneda Functor: $y:\mathbf{C}\rightarrow\textbf{Set}^{\mathbf{C}^{op}}$。给定一个$X\in\mathbf{C}$，那么$yX$ 就是一个$\mathbf{C}^{op}\rightarrow\textbf{Set}$ 的 functor，定义如下：

$$yX\left (Y\xleftarrow{f}Z\right )=\mathbf{C}(Y,X)\xrightarrow{\lambda g.g\circ f}\mathbf{C}(Z,X)$$

那么对于$X\xrightarrow{f}Y$ 是$\mathbf{C}$ 中的一个 morphism 的话，$yX\Rightarrow yY$ 应该就是一个 natural transformation。

对于$Z\xleftarrow{g}Z'\in\mathbf{C}^{op}$：

注意，$yX,F:\mathbf{C}^{op}\rightarrow\textbf{Set}$ 都是 functor，而$\textbf{Set}^{\mathbf{C}^{op}}(yX,F)$ 就是这两个 functor 之间的 natural transformation 的集合。而这个集合同构于$F(X)$。

下面我们试图给出这个同构映射，证明该引理。

给定一个$\theta:yX\Rightarrow F$，那么有$\theta_X:yX(X)\rightarrow F(X)$，因为$yX(X)=\mathbf{C}(X,X)$，所以$\theta_X(\text{id}_X)\in F(X)$。

那么我们可以定义，$\eta_{X,F}(\theta)\triangleq\theta_X(\text{id}_X)$。

反之，对于任意$x\in F(X),Y\in\mathbf{C}$ 和态射$f\in\mathbf{C}(Y,X)=yX(Y)$，有：

$$F(X)\xrightarrow{F(f)}F(Y)\in\textbf{Set}$$

因此，$F(X)(x)\in F(Y)$。

我们定义的$\eta_{X,F}^{-1}$ 应该是给定一个$x\in F(X)$，返回一个$yX\Rightarrow F$ 的 natural transformation。即我们定义：

$$\left (\eta_{X,F}^{-1}(x)\right )_Y:yX(Y)\rightarrow F(Y)=\mathbf{C}(Y,X)\rightarrow F(Y)$$

我们定义

$$\left (\eta_{X,F}^{-1}(x)\right )_Y\triangleq\lambda f. F(f)(x)$$

接下来，我们证明$\eta_{X,F}\circ\eta_{X,F}^{-1}=\text{id}_{F(X)}$：

$$\begin{aligned} \eta_{X,F}(\eta_{X,F}^{-1}(x))&=\left (\eta_{X,F}^{-1}(x)\right )_X(\text{id}_X)\\ &=(\lambda f.F(f)(x))(\text{id}_X)\\ &=F(\text{id}_X)(x)\\ &=\text{id}_{F(X)}(x)\\ &=x \end{aligned}$$

要证明$\eta_{X,F}^{-1}\circ\eta_{X,F}=\text{id}_{\textbf{Set}^{\mathbf{C}^{op}}(yX,F)}$ 即:

$$\begin{aligned} \left (\eta_{X,F}^{-1}(\eta_{X,F}(\theta))\right )=\theta:yX\Rightarrow F \end{aligned}$$

即证明，对于任意$yX\xRightarrow{\theta}F$ 和$X\xleftarrow{f}Y$，有：

$$\begin{aligned} \left (\eta_{X,F}^{-1}(\eta_{X,F}(\theta))\right )_Yf&=\left (\eta_{X,F}^{-1}(\theta_X(\text{id}_X))\right )_Yf\\ &=F(f)(\theta_X(\text{id}_X))\\ \end{aligned}$$

因为$\theta:yX\Rightarrow F$ 是一个 natural transformation，因此有：

$$F(f)\circ \theta_X=\theta_Y\circ (\lambda g.g\circ f)$$

因此，

$$\begin{aligned} \left (\eta_{X,F}^{-1}(\eta_{X,F}(\theta))\right )_Yf&=F(f)(\theta_X(\text{id}_X))\\ &=\theta_Y(\lambda g.g\circ f)(\text{id}_X)\\ &=\theta_Y(f) \end{aligned}$$

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下面我们需要证明$\eta_{X,F}$ 对于$F$ 是 natural 的。即给定一个$X$，和$F\xRightarrow{\varphi}G$，我们要证明下图是交换的

注意，$\varphi^*$ 是从 natural transformation 到 natural transformation 的映射。给定一个$yX\xRightarrow{\theta}F$，有$\mathbf{C}(Z,X)\xrightarrow{\theta_Z}F(Z)$，那么：

$$\varphi^*(\theta)_Z:\mathbf{C}(Z,X)\rightarrow G(Z)$$

即$\varphi^*(\theta)_Z=\varphi_Z\circ\theta_Z$。（这里 naturality 体现在给了$F\xRightarrow{\varphi}G$ 后，自然引导出的$\textbf{Set}^{\mathbf{C}^{op}}(yX,F)\rightarrow\textbf{Set}^{\mathbf{C}^{op}}(yX,G)$ 的函数$\varphi^*$。

要证明交换，即：

$$\begin{aligned} \varphi_X(\eta_{X,F}(\theta))&=\varphi_X(\theta_X(\text{id}_X))\\ &=(\varphi\circ\theta)_X(\text{id}_X)\\ &=\eta_{X,G}(\varphi\circ\theta)\\ &=\eta_{X,G}(\varphi^*(\theta)) \end{aligned}$$

另一方面，要证明 natural in $X$，那么确定一个$F$ 后，要证明对于任意给定的$X\xleftarrow{f}Y$，x 下图是交换的：

给定了$X\xleftarrow{f}Y$ 后，那么$yX,yY$ 就都是$\mathbf{C}^{op}\rightarrow\textbf{Set}$ 的 functor，而$yf$ 就是$yY\Rightarrow yX$ 的 natural transformation。

注意，这里为什么是$yY\Rightarrow yX$ 的 natural transformation 呢？因为 Yoneda Functor $y$ 是一个$\mathbf{C}\rightarrow\textbf{Set}^{\mathbf{C}^{op}}$ 的 functor，那么给定$X\xleftarrow{f}Y\in\mathbf{C}$，$yf$ 也应该是$\textbf{Set}^{\mathbf{C}^{op}}$ 中从$yY$ 到$yX$ 的 morphism，即从$yY$ 到$yX$ 的 natural transformation。

实际上，$(yf)_Z=\lambda g.f\circ g:\mathbf{C}(Z,Y)\rightarrow\mathbf{C}(Z,X)$。

给定一个$F$ 后，既然有了$yY\xRightarrow{yf}yX$，就可以自然地定义$(yf)^*:\textbf{Set}^{\mathbf{C}^{op}}(yX,F)\rightarrow\textbf{Set}^{\mathbf{C}^{op}}(yY,F)$。

对于任意一个 natural transformation $yX\xRightarrow{\theta}F$，$(yf)^*(\theta)$ 也是一个 natural transformation，即：

$$(yf)^*(\theta)_Z=\theta_Z\circ(yf)_Z:\mathbf{C}(Z,Y)\rightarrow F(Z)$$

那么要证明上图是交换的，实际上就是对于任意一个$\theta$，有：

$$\begin{aligned} F(f)(\eta_{X,F}(\theta))&=F(f)(\theta_X(\text{id}_X))\\ &=\theta_Y((\lambda g.g\circ f)(\text{id}_X))\\ &=\theta_Y(f)\\ &=\theta_Y((yf)_Y(\text{id}_Y))\\ &=(\theta\circ yf)_Y(\text{id}_Y)\\ &=\eta_{Y,F}(\theta\circ yf)\\ &=\eta_{Y,F}(yf^*(\theta)) \end{aligned}$$

# 理解和解释

我们重新审视以下 Yoneda Lemma 的式子，更简便地、它可以写为：

$$\textbf{Nat}(\text{Hom}(-,X),F)\cong F(X)$$

其中，$\textbf{Nat}(F,G)$ 表示从$F$ 到$G$ 的 natural transformation 的集合。

而$\text{Hom}(-,X):\mathbf{C}^{op}\rightarrow \textbf{Set}$ 是一个 Functor，$F$ 也是$\mathbf{C}^{op}\rightarrow \textbf{Set}$ 的 Functor。其中

$$\text{Hom}(-,X)\left (Y\xleftarrow{f}Z\right )=\text{Hom}(Y,X)\xrightarrow{f^*=\lambda g.g\circ f}\text{Hom}(Z,X)$$

为了理解这个抽象的同构关系，我们先看几个引理，试图感觉一下，它实例化后的含义。

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Collaroy 1. 如果$F=\text{Hom}(-,Y)$ 也是一个$\mathbf{C}^{op}\rightarrow\textbf{Set}$，那么代入可以直接得到：

$$\text{Hom}(X,Y)\cong\textbf{Nat}(\text{Hom}(-,X),\text{Hom}(-,Y))$$

这说明什么？别忘记，$\textbf{Nat}(-,-)$ 是 functor category $\textbf{Set}^{\mathbf{C}^{op}}$ 里两个 object 之间的 morphism 集合！

实际上，我们找到了一个 embedding，把$\mathbf{C}$ 嵌入到了$\textbf{Set}^{\mathbf{C}^{op}}$：

$$\begin{aligned} X&\mapsto \text{Hom}(-,X)\\ \text{Hom}(X,Y)&\mapsto\textbf{Nat}(\text{Hom}(-,X),\text{Hom}(-,Y)) \end{aligned}$$

对于$\textbf{Set}^{\mathbf{C}^{op}}$ 中的 object，那些形如$\text{Hom}(-,X)$ 被称为 representable functor（即被$X$ represent 了）

那么这个嵌入说明了一个事情：

对于任何 Representable Functor 之间的 natural transformation，都是 arise from 一个它们代表元之间的 morphism。

即对于任意 natural transformation $\text{Hom}(-,X)\xRightarrow{\theta}\text{Hom}(-,Y)$，都存在一个 morphism $X\xrightarrow{f}Y$ 和$\theta$ 对应。

给定$X\xrightarrow{f}Y$ 后，很自然可以诱导出一个 natural transformation $\text{Hom}(-,X)\xRightarrow{\theta}\text{Hom}(-,Y)$：

$$\theta_Z=\lambda g.f\circ g$$

而这个引理说明，这个诱导是可逆的，对于任何一个 natural transformation 也只有唯一的 morphism。

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Collaroy 2. $X\cong Y$ if and only if $\text{Hom}(-,X)\cong\text{Hom}(-,Y)$。

这其实是因为，$X\mapsto\text{Hom}(-,X)$ 是一个 fully faithful 的 functor。

一个 functor $F:\mathbf{C}\rightarrow\mathbf{D}$ 被称为 fully faithful，当且仅当$\text{Hom}_\mathbf{C}(X,Y)\cong\text{Hom}_\mathbf{D}(F(X),F(Y))$。

然后对于一个 fully faithful functor，有：如果$F(X)\cong F(Y)$，那么$X\cong Y$。

这是一个很有哲学意义的引理。它说明了，object 的 property，实际上都是从它和周围 object 的 relation 中决定的。

即对于两个 object $X,Y$，如果我们从任意一个第三方 object $Z$ 去观察它们（即 morphism 看作是一种观察，关系…）那么$X\cong Y$ 就当且仅当，$\text{Hom}(Z,X)\cong\text{Hom}(Z,Y)$。

严格来说：

如果对于任意$Z$，$\text{Hom}(Z,X)\cong\text{Hom}(Z,Y)$，并且这个同构 natural in $Z$，那么就有$X\cong Y$。

如果取个 dual category，其实$\text{Hom}(X,Z)\cong\text{Hom}(Y,Z)$ 也可以得到$X\cong Y$。

注：考虑同构$\eta:\text{Hom}(Z,X)\cong\text{Hom}(Z,Y)$，那么$\eta$ natural in $Z$ 的含义是，对于任意$Z_1\xleftarrow{f}Z_2\in\mathbf{C}$，有：

$$\text{Hom}(f,Y)\circ\eta_{Z_1}=\eta_{Z_2}\circ\text{Hom}(f,X)$$

就是一个交换图。（注意，$\text{Hom}(-,X)$ 是$\mathbf{C}^{op}\rightarrow\textbf{Set}$ 的 functor）

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我们重新回到 Yoneda Lemma 的原始形式。给定一个 object $X$ 和一个 Functor $F:\mathbf{C}^{op}\rightarrow\textbf{Set}$，以及引导出的 functor $\text{Hom}(-,X):\mathbf{C}^{op}\rightarrow\textbf{Set}$。

什么是好得到的呢？$F(X)$ 显然是知道的，因为$F,X$ 都给了。

但从$\text{Hom}(-,X)$ 到$F$ 的 natural transformation 却是难以得知的，而且可能存在特别多的情况。

然后 Yoneda Lemma 就说明了，natural transformation 都是由$F(X)$ 中的元素诱导出来的。

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